曲線f(x)=ax5+lnx存在垂直y軸的切線則實數(shù)a的取值范圍是________.
(-∞,0)
分析:由f(x)=ax
5+lnx有垂直與y軸的切線,知f(x)函數(shù)在某一個點處的導數(shù)等于零.由f(x)的定義域為x>0,f′(x)=5ax+
,知原題等于價于5ax
2+1=0有解時求a的取值范圍.由此能求出a的取值范圍.
解答:∵f(x)=ax
5+lnx有垂直與y軸的切線,
∴f(x)函數(shù)在某一個點處的導數(shù)等于零.
由函數(shù)的表達式可知f(x)的定義域為x>0
∵f′(x)=5ax+
,根據(jù)上面的推斷,
即方程5ax+
=0有解.
即等于價于5ax
2+1=0有解時求a的取值范圍.
∴△=-20a>0,解得a<0
因此,a的取值范圍是(-∞,0).
故答案為:(-∞,0).
點評:本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程的應用,運用到了求導和一元二次方程有解問題兩個知識點,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.