Question

已知函數(shù)f（x）=|a²x²-1|+ax（a∈R，且a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時，若函數(shù)y=f（x）-c恰有x₁，x₂，x₃，x₄四個零點，求x₁+x₂+x₃+x₄的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|x|對一切x∈[b，+∞）都成立，求a²b²+（b-

1

2

）²的最小值．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的圖象

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)式，畫出簡圖，由圖當(dāng)1＜c＜

5

4

時，y=f（x）-c有四個零點，再由二次方程的韋達(dá)定理，即可得到之和；
（Ⅱ） f（x）≥|x|在[b，+∞）上恒成立，分（1）a≥1，b＞0，（2）a≥1，b＜0，（3）0＜a＜1，（4）a＜0則b＞0，運用不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|a²x²-1|+ax
=

a2x2+ax-1，|ax|≥1 -a2x2+ax+1，|ax|＜1

，
如圖，當(dāng)1＜c＜

5

4

時，
y=f（x）-c有四個零點，依次設(shè)為x₁，x₂，x₃，x₄
則顯然有x₁，x₄是方程a²x²+ax-1=0的兩個根，
因此x1+x4=-

1

a

，
x₂，x₃，是方程-a²x²+ax+1=0的兩個根，
因此x₂+x₃=

1

a

∴x₁+x₂+x₃+x₄=0．
（Ⅱ） f（x）≥|x|在[b，+∞）上恒成立，則
（1）a≥1，b＞0，
此時 a2b2+(b-

1

2

)2≥b2+(b-

1

2

)2=2b2-b+

1

4

=2(b-

1

4

)2+

1

8

≥

1

8

；
（2）a≥1，b＜0則必須滿足a²b²≤ab+b+1，
此時，由于a＞0，b＜0
則 a2b2+(b-

1

2

)2≥b2+b2-b+

1

4

=2b2-b+

1

4

＞

1

4

；
（3）0＜a＜1，則b＞0且a²b²≥b+1-ab，
則a2b2+(b-

1

2

)2≥b+1-ab+b2-b+

1

4

=b2-ab+1+

1

4

=(b-

1

2

a)2+

1

4

-

1

4

a2+1=(b-

1

2

a)2+

1

4

(1-a2)+1＞1；
（4）a＜0則b＞0且a²b²≥b+1-ab，
則a2b2+(b-

1

2

)2≥b+1-ab+b2-b+

1

4

=b2-ab+

5

4

＞

5

4

．
綜上可得a2b2+(b-

1

2

)2≥

1

8

且a=1，b=

1

4

時取等號．
即有a²b²+（b-

1

2

）²的最小值為

1

8

．

點評：本題考查絕對值函數(shù)的圖象和運用，考查函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，同時考查不等式恒成立問題，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．