Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x，g（x）=

a

x

-x-1（a＞0）．
（I）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；
（II）對于正實(shí)數(shù)m，方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)根，求m的值．

Answer 1

（I）函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）=

a

x

-1+lnx的定義域?yàn)閧x|x＞0}
因?yàn)镕′（x）=-

a

x2

+

1

x

，a＞0時，解F′（x）＞0，即-

a

x2

+

1

x

＞0，
得x＞a，所以在（a，+∞）上F（x）單調(diào)遞增，
解F′（x）＜0，即-

a

x2

+

1

x

＜0，得0＜x＜a，
所以在（0，a）上，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
因此：當(dāng)a＜e時，函數(shù)在x=a處取得最小值F（a）=lna，
當(dāng)a＞e時，函數(shù)在x=a處取得最小值F（e）=

a

e

綜上：當(dāng)0＜a≤e時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，e]上最小值F（a）=lna；
當(dāng)a＞e時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，e]上最小值F（e）=

a

e

；
（II）∵方程2mf（x）=x²中唯一實(shí)數(shù)解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，
∴g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m²+4m＞0，
方程有兩異號根，設(shè)為x₁0，
∵x＞0，∴x₁應(yīng)舍去．
當(dāng)x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=x₂時，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0，
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x 22 -2mlnx2-2mx2=0 x 22 -mx2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵當(dāng)x＞0時，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴方程（*）的解為x₂=1，
∴代入方程組解得m=

1

2

；