Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過點（-

3

，

1

2

）離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，且以EF為直徑的圓過原點，試求直線l方程；
（3）過點A（3，0）作直線與橢圓交于B，C兩點且x_B+x_C=2，若直線L：y=kx+m是直線BC垂直平分線，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用條件建立方程，求解a，b．
（2）設(shè)出直線方程，利用EF為直徑的圓過原點，確定直線的斜率．
（3）出直線方程，利用x_B+x_C=2和y=kx+m是直線BC垂直平分線，確定m的取值范圍．

解答：解：（1）因為橢圓過點（-

3

，

1

2

），所以

3

a2

+

1

4b2

=1，…（1分）
又離心率e=

c

a

=

3

2

，…（3分）
解得a=2，b=1，所以橢圓方程：

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）由題義得OE⊥OF，…（5分）
L：y=k（x-1），
代入

x2

4

+y2=1得：（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0 �、佟�（6分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
即x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0 　�、�
由①得x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

，x1+x2=

8k2

1+4k2

，
代入②得：

k2-4

1+4k2

=0，即k²-4=0，解得k=±2，所以l：y=2x-2或y=-2x+2…（8分）
（3）設(shè)BC的中點D（x₀，y₀），B（x_B，y_B）、C（x_C，y_C ），
則x_B+x_C=2x₀=2，所以  x₀=1，y_B+y_C=2y₀…（9分）
又

x 2 B

4

+

y

2 B

=1，

x 2 C

4

+

y

2 C

=1，
兩式相減得

x 2 C - x 2 B

4

+

y

2 C

-

y

2 B

=0，即kBC=-

1

4y0

…（10分）
即kl=-

1

kBC

=4y0，l：y=4y₀+m
當(dāng)x=1時，y₀=4y₀+m，即 y0=-

m

3

，
D（1，-

m

3

）在橢圓內(nèi)

1

4

+(-

m

3

)2＜1   …（12分）
得-

3 3

2

＜m＜

3 3

2

…（14分）

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題中常用的方法，運算量較大，綜合性較強．