Question

方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的個(gè)數(shù)

 

．

Answer 1

分析：方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的個(gè)數(shù)即函數(shù)y=2^sinθ和y=cosθ圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．而y=2^sinθ的圖象可通過求導(dǎo)，判單調(diào)性和極值解決．

解答：解：令y=2^sinθ，y′=2^sinθln2•cosθ，
∵2^sinθln2＞0，令y′＞0，得cosθ＞0，θ∈(0，

π

2

)∪(

3π

2

，2π)，


∴在 (0，

π

2

)上增在 (

π

2

，

3π

2

)上減，在 (

3π

2

，2π)上增．
故函數(shù)y=2^sinθ與y=cosθ圖象在[0，2π）上有一個(gè)交點(diǎn)，
故方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的個(gè)數(shù)為1．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查方程根的問題，對復(fù)雜方程，往往轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．