Question

11．已知圓M：（x-1）²+（y-1）²=4，直線l過(guò)點(diǎn)P（2，3）且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求直線l方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）為圓M上的點(diǎn)，求x₀²+y₀²的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，分別由條件利用點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式求出斜率，可得直線l的方程．
（Ⅱ）利用 x₀²+y₀²的幾何意義．求解圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，
作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC=$\sqrt{3}$，MB=2，
所以MC=1，又因?yàn)镸C=$\frac{|k-1+3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{3}{4}$，所以直線方程為3x-4y+6=0．
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，圓心到此直線的距離也為1，
所以也符合題意，
綜上可知，直線L的方程為3x-4y+6=0或x=2．
（Ⅱ）圓M：（x-1）²+（y-1）²=4，Q（x₀，y₀）為圓M上的點(diǎn)，
x₀²+y₀²的幾何意義是圓的上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，圓心到原點(diǎn)的距離為：$\sqrt{2}$，圓的半徑為2，
x₀²+y₀²的取值范圍：[0，$（2+\sqrt{2}）^{2}$]，即[0，6+4$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，