Question

如圖，點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，若四邊形PF₁F₂M為菱形，則橢圓的離心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，四邊形PF₁F₂M為菱形，由菱形的性質(zhì)，可得PM=PF₁=F₁F₂=2c，再由橢圓的定義可得PF₂的長(zhǎng)，結(jié)合橢圓的第二定義，有=，代入PM與PF₂的值，化簡(jiǎn)可得e²+e-1=0，解可得e的值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，取舍解出的值可得答案．
解答：解：∵四邊形PF₁F₂M為菱形，
∴PM=F₁F₂=2c，且PM=PF₁=2c．
再由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2a，則PF₂=2a-2c．
根據(jù)橢圓的第二定義，有=e=，則，
又由c²=a²-ac，則e²+e-1=0，
解可得e=，
又由0＜e＜1，則e==，
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，結(jié)合橢圓第二定義，得到關(guān)于e的關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．