Question

7．已知M（1，4），N（3，2）為圓C上的兩點(diǎn)，且直線2x-3y+6=0為圓C的一條對(duì)稱(chēng)軸．
（1）求過(guò)點(diǎn)（5，1）且與圓C相切的直線方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓C相交所得的弦的中點(diǎn)為A，與直線m：x+2y+2=0的交點(diǎn)為B，試判斷|PA|•|PB|是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意：圓C的圓心在線段MN的垂直平分線上，直線2x-3y+6=0為圓C的一條對(duì)稱(chēng)軸．交點(diǎn)即為圓心．可得圓C的方程．設(shè)過(guò)點(diǎn)（5，1）直線方程，與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，即得直線方程．
（2）過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓C相交，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，求出A，B的坐標(biāo)，求出|PA|•|PB|的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得是否為定值．

解答 解：（1）由題意：M（1，4），N（3，2）為圓C上的兩點(diǎn)，則斜率K_MN=$\frac{4-2}{1-3}=-1$，線段MN的中點(diǎn)為（2，3）則線段MN的垂直平分線的方程為x-y+1=0．
直線2x-3y+6=0與x-y+1=0的交點(diǎn)為（3，4），即圓心為（3，4）．半徑r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-4）^{2}}=2$
故得圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=4．
①若切線方程的斜率不存在，則直線方程x=5，恰與圓C相切，符合題意．
②若切線方程的斜率存在，設(shè)直線方程為y-1=k₁（x-5），即k₁x-y-5k₁+1=0，
由直線方程，與圓C相切，可得：$\frac{|3{k}_{1}-4-5{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}=2$，
解得：k=$-\frac{5}{12}$，
故所求的切線方程為x=5或5x+12y-37=0．
（2）過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓相交，可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為k₂x-y-k₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}x-y-{k}_{2}=0}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{2{k}_{2}-2}{2{k}_{2}+1}$，-$\frac{3{k}_{2}}{2{k}_{2}+1}$），
由直線AC與直線l垂直，由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x-{k}_{2}}\\{y-4=-\frac{1}{{k}_{2}}（x-3）}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{{{k}_{2}}^{2}+{4}_{2}k+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{{k}_{2}}^{2}+2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}$），
所以|AP|•|PB|=$\sqrt{（\frac{{{k}_{2}}^{2}+4{k}_{2}+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}-1）^{2}+（\frac{4{{k}_{2}}^{2}+2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}）^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2{k}_{2}-2}{2{k}_{2}+1}-1）^{2}+（-\frac{3{k}_{2}}{2{k}_{2}+1}）^{2}}$=$\frac{2|2{k}_{2}+1|}{1+{{k}_{2}}^{2}}•\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}•\frac{3\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}{|2{k}_{2}+1|}$=6為定值．
故得|PA|•|PB|是定值6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線圓的位置關(guān)系的，圓的方程的求法以及化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，綜合性強(qiáng)．屬于中檔題．