函數(shù)f(x)=
x+b1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
分析：（I）已知函數(shù)f(x)=
x+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），求出b的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（II）可以 設(shè)0＜x1＜x2＜1，根據(jù)定義法判斷f（x2）-f（x1）與0的大小關(guān)系，從而進(jìn)行證明；
解答：解：（ I）∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）…（2分）
故
-x+b
1+x2
=-
x+b
1+x2
，
所以b=0，…（4分）
所以 f(x)=
x
1+x2
．…（5分）
（ II） 設(shè)0＜x1＜x2＜1，△x=x2-x1＞0，…（6分）
則△y=f（x2）-f（x1）=
x2
1+
x
2
2
-
x1
1+
x
2
1
=
x2-x1+x2
x
2
1
-x1
x
2
2
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
(x2-x1)(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
△x(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
…（8分）
∵0＜x1＜x2＜1，
∴△x=x2-x1＞0，1-x1x2＞0…（10分）
∴而 1+
x
2
1
＞0，1+
x
2
2
＞0，
∴△y=f（x2）-f（x1）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，利用定義法求證函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是會(huì)化簡(jiǎn)，此題是一道基礎(chǔ)題；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱(chēng)直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•成都一模）已知函數(shù)f(x)=x+
4
x
-3，x∈(0，4)，當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得最小值b，則函數(shù)g(x)=(
1
a
)|x-b|的圖象為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱(chēng)直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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