Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|，g（x）=x²+ax+2，x∈R．
（Ⅰ）若不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，由韋達(dá)定理得a的值，可得g（x）的解析式，再化簡(jiǎn)f（x），分類討論，可求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）由h（x）=f（x）+g（x）+2，可得a的關(guān)系式，求出函數(shù)的值域，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，
∴由韋達(dá)定理得-a=1+2，∴a=-3，（1分）
于是g（x）=x²-3x+2． 
又f（x）=

x2-1，x≤-1或x≥1 1-x2，-1＜x＜1

當(dāng)x≤-1或x≥1時(shí)，由f（x）≤g（x）得x²-1≤x²-3x+2，解得x≤1，
∴此時(shí)x的范圍為x≤-1或x=1．                                   （3分）
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，由f（x）≤g（x）得1-x²≤x²-3x+2，解得x≤

1

2

或x≥1，
∴此時(shí)x的范圍為-1＜x≤

1

2

．                                      （5分）
綜上知，不等式f（x）≤g（x）的解集為{x|x≤

1

2

或x=1}．               （6分）
（Ⅱ）由h（x）=f（x）+g（x）+2，可得a=

-|x2-1|-x2-4

x

=

-(1-x2)-x2-4 x =- 5 x ，x∈(0，1) -(x2-1)-x2-4 x =-(2x+ 3 x )，x∈[1，2)

 （8分）
x∈（0，1），a=-

5

x

單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?∞，-5）；                        （10分）
x∈[1，2），k（x）=-（2x+

3

x

）先增后減，
∵k（1）=-5，k（x）_max=-2

6

，k（2）=-

11

2

∴-

11

2

＜a＜-2

6

                              
綜上，-

11

2

＜a＜-2

6

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查解不等式，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．