Question

設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x²+bx+c=0實根的個數(shù)（重根按一個計）．
（1）求方程x²+bx+c=0有實根的概率；
（2）（理）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望
（文）求P（ξ=1）的值
（3）（理）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得基本事件總數(shù)為6×6=36，若使方程有實根，則△=b²-4c≥0，即b≥2

c

，再利用列舉的方法求出目標(biāo)事件個數(shù)，進(jìn)而得到答案．
（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，則 P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，進(jìn)而得到分布列與數(shù)學(xué)期望．
（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一個根情況所包含的基本時間數(shù)，進(jìn)而求出其發(fā)生的概率．
（3）計算出“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”的概率與“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5并且方程x²+bx+c=0有實根”的概率，進(jìn)而利用條件概率的公式可得答案．

解答：解：（1）基本事件總數(shù)為6×6=36，
若使方程有實根，則△=b²-4c≥0，即b≥2

c

．
當(dāng)c=1時，b=2，3，4，5，6；
當(dāng)c=2時，b=3，4，5，6；
當(dāng)c=3時，b=4，5，6；
當(dāng)c=4時，b=4，5，6；
當(dāng)c=5時，b=5，6；
當(dāng)c=6時，b=5，6，
目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x²+bx+c=0有實根的概率為

19

36

．
（2）（理）由題意知，ξ=0，1，2，則 P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，
故ξ的分布列為

	0	1	2
P

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

17

36

+1×

1

18

+2×

17

36

=1．
（文）P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

．
（3）記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程ax²+bx+c=0有實根”為事件N，
則P(M)=

11

36

，P(MN)=

7

36

，P(N|M)=

P(MN)

P(M)

=

7

11

．

點評：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，以及條件概率的公式．