Question

如果關(guān)于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、{a|a≤0或a=2}
• C、（0，+∞）
• D、{a|a≥0或a=-2}

Answer 1

分析：先將“ax+

1

x2

=3有且僅有一個正數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“f（x）=ax³-3x²+1的圖象與x正半軸有且僅有一個交點(diǎn)”，然后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出極小值，進(jìn)而求解即可．

解答：解：∵x≠0，
所以ax+

1

x2

=3與ax³-3x²+1=0的解完全相同（易知0不是后一個方程的解）
令f（x）=ax³-3x²+1
則“ax+

1

x2

=3有且僅有一個正數(shù)解”與“f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點(diǎn)”等價(jià)．
∵f'（x）=3x（ax-2）
當(dāng)a=0時(shí)，代入原方程知此時(shí)僅有一個正數(shù)解

3

3

；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，
得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，

2

a

）上單調(diào)遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x=

2

a

時(shí)f（x）取到極小值0．
x=

2

a

代入原方程得到正數(shù)解a=2；
當(dāng)a＜0時(shí)，同理f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（

2

a

，0）上單調(diào)遞減，
f（0）=1＞0，所以此時(shí)不存在滿足條件的a
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查根的存在性和區(qū)間的判定、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題．考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．