Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₃=4，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明{S_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=2S_n+1，知S_n+1+1=2（S_n+1），利用構(gòu)造法能夠證明{S_n+1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn+1=2n，故Sn=2n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1，所以na_n=n•2^n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴

Sn+1+1

Sn+1

=2，
∵a₁=1，∴S₁+1=2，
∴{S_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn+1=2n，
∴Sn=2n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∵a₁=1，∴a_n=2^n-1，（n∈N^*），
∴na_n=n•2^n-1，
∴Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2^n-1，①
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-2）•2^n-2+n•2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
∴Tn=(n-1)•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．