Question

16．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，過B點的切線為BE，∠CBE的角平分線交圓O于點D，連接AD交BC于F，延長交BE于E．
（Ⅰ）證明：AD平分∠BAC；
（Ⅱ）證明：BD²-DF²=BF•CF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD是∠BAC的平分線，只需證明∠CAD=∠BAD，利用BE是圓O的切線，BD是∠CBE的平分線即可證明；
（Ⅱ）先證明△BDA∽△FDB，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{FD}$，即BD²=AD•FD，再結(jié)合相交弦定理，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）∵BE是圓O的切線，
∴∠EBD=∠BAD=∠BCD，
∵BD是∠CBE的平分線，
∴∠CBD=∠BAD，
∴∠CAD=∠CBD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分線，即AD平分∠BAC；
（Ⅱ）∵∠CAD=∠BAD，∠CAD=∠FBD，
∴∠BAD=∠FBD，
∵∠BDA=∠FDB，
∴△BDA∽△FDB，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{FD}$，
∴BD²=AD•FD，
∴BD²-DF²=AD•FD-DF²=AF•FD
∵AF•FD=BF•CF，
∴BD²-DF²=BF•CF．

點評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形相似的判斷與運用，難度中等．