分析 (1)求出函數(shù)f(x)的定義域,求導(dǎo)數(shù),通過(guò)f′(x)=0,得x=1,利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)利用g(x)=mx-lnx,且x1=$\sqrt{e}$是函數(shù)g(x)的零點(diǎn),推出m值,利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理,結(jié)合函數(shù)g(x)在(2$\sqrt{e}$,+∞)上單調(diào)遞增,求解即可.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$.….(2分)
令f′(x)=0,得x=1
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù).….(4分)
所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值,極小值為f(1)=2-ln1=2.
所以,f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1),極小值為2.….(6分)
(2)證明:因?yàn)間(x)=mx-lnx,且x1=$\sqrt{e}$是函數(shù)g(x)的零點(diǎn),
所以g($\sqrt{e}$)=0,即m$\sqrt{e}$-$\frac{1}{2}$=0,解得m=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}=\frac{{\sqrt{e}}}{2e}$.….(8分)
所以g(x)=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}x$-lnx.因?yàn)間(${e}^{\frac{3}{2}}$)=$\frac{e}{2}$-$\frac{3}{2}$<0,g(${e}^{\frac{5}{2}}$)=$\frac{e^2}{2}$-$\frac{5}{2}$>0,
所以g(${e}^{\frac{3}{2}}$)g(${e}^{\frac{5}{2}}$)<0.….(10分)
由(1)知,函數(shù)g(x)在(2$\sqrt{e}$,+∞)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)g (x)在區(qū)間(${e}^{\frac{3}{2}}$,${e}^{\frac{5}{2}}$)上有唯一零點(diǎn),因此x2>${e}^{\frac{3}{2}}$,即x2>$e\sqrt{e}$….(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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A. | y=|$\frac{1}{2}$|x | B. | y=$\frac{1}{x}$ | C. | y=-x3 | D. | y=x2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 60° | B. | 45° | C. | 90° | D. | 120° |
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A. | {x|0≤x<1} | B. | {x|0<x<1} | C. | {x|x≥0} | D. | {x|-1<x≤0} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | {x|-3<x<2} | B. | {x|2<x<3} | C. | {x|-3<x<-2} | D. | {x|x<-4或x>-3} |
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