Question

20．m∈R，函數(shù)f（x）=mx-lnx+1．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個(gè)單位后得到g（x）的圖象，且x₁=$\sqrt{e}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和x₂是函數(shù)g（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的值并證明：x₂＞e$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f′（x）=0，得x=1，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用g（x）=mx-lnx，且x₁=$\sqrt{e}$是函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，推出m值，利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，結(jié)合函數(shù)g（x）在（2$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．…．（2分）
令f′（x）=0，得x=1
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．…．（4分）
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，極小值為f（1）=2-ln1=2．
所以，f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1），極小值為2．…．（6分）
（2）證明：因?yàn)間（x）=mx-lnx，且x₁=$\sqrt{e}$是函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，
所以g（$\sqrt{e}$）=0，即m$\sqrt{e}$-$\frac{1}{2}$=0，解得m=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}=\frac{{\sqrt{e}}}{2e}$．…．（8分）
所以g（x）=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}x$-lnx．因?yàn)間（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{e}{2}$-$\frac{3}{2}$＜0，g（${e}^{\frac{5}{2}}$）=$\frac{e^2}{2}$-$\frac{5}{2}$＞0，
所以g（${e}^{\frac{3}{2}}$）g（${e}^{\frac{5}{2}}$）＜0．…．（10分）
由（1）知，函數(shù)g（x）在（2$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g （x）在區(qū)間（${e}^{\frac{3}{2}}$，${e}^{\frac{5}{2}}$）上有唯一零點(diǎn)，因此x₂＞${e}^{\frac{3}{2}}$，即x₂＞$e\sqrt{e}$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．