Question

如果函數f（x）=a^x（a^x-4a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，1）
• B．（0，

  1

  2

  ]
• C．（1，2]
• D．?

Answer 1

分析：先化簡f（x）的表達式，令t=a^x．則f（t）=t²-（4a²+1）t（t＞0）．下面對參數a分類討論，利用復合函數的單調性的方法求解即可．

解答：解：由題意得f（x）=（a^x）²-（4a²+1）a^x，
令t=a^x，≥1，f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1）
當a＞1時，t=a^x在[0，+∞）上為增函數，
而對于f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1），對稱軸t=

4a2+1

2

，
根據復合函數的增減性，
要使f（t）在區(qū)間t∈[1，+∞）上也是增函數，
就必須有：對稱軸t=

4a2+1

2

＞

5

2

，（a＞1）
∴f（t）在區(qū)間t∈[1，+∞）上先減后增，
∴函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上不是增函數，
∴0＜a＜1，此時t=a^x在[0，+∞）上為減函數，
此時0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上為增函數，
則f（t）在（0，1]上必為減函數，
故

4a2+1

2

≥1，
∴a≥

1

2

，綜上

1

2

≤a＜1；
故選A；

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．