Question

給出命題：
①函數(shù)y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)(x∈R)的最小值等于-1；
②函數(shù)y=sinπxcosπx是周期為2的奇函數(shù)；
③函數(shù)y=sin(x+

π

4

)在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)遞增的；
④函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

在（2008，+∞）上恒有f(x)＞

1

2

．
則正確命題的序號(hào)是

①

．

Answer 1

分析：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)①求出函數(shù)的最小值判斷正誤即可；利用二倍角公式化簡(jiǎn)②求出函數(shù)的周期判斷正誤；區(qū)間內(nèi)求出函數(shù)的最值，即可判斷③的正誤；求出函數(shù)的最小值判斷④的正誤．

解答：解：對(duì)于①，函數(shù)y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)(x∈R)
所以y=2sin(

π

3

-x)-sin(

π

3

-x)
=-sin(x-

π

3

)，所以函數(shù)的最小值為：-1，所以①正確．
對(duì)于②，函數(shù)y=sinπxcosπx
=

1

2

sin2πx，函數(shù)的周期為：1，
所以②不正確．
對(duì)于③，函數(shù)y=sin(x+

π

4

)在區(qū)間[0，

π

2

]，當(dāng)x=

π

4

時(shí)函數(shù)取得最大值，
所以③不正確．
對(duì)于④，函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

在（2008，+∞），?sn²x=0，而-(

2

3

)|x|＜0，所以f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

＜

1

2

，所以④不正確．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期的求法，三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．