Question

某廠家擬在2008年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=3(k為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件,已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元.廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費(fèi)用).

(1)將2008年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù);

(2)該廠家2008年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

解:(1)由題意可知當(dāng)m=0時(shí),x=1(萬件),

∴1=3-k,即k=2.

∴x=3

每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元).

∴2008年的利潤(rùn)y=x［1.5×］-(8+16x+m)

=4+8x-m=4+8(3)-m

=-［+(m+1)］+29(m≥0).

(2)當(dāng)m≥0時(shí),+(m+1)≥2=8,

∴y≤-8+29=21,當(dāng)且僅當(dāng)=m+1,即m=3(萬元)時(shí),

y_max=21(萬元).

答:該廠家2008年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大,最大為21萬元.