Question

已知圓內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)的直線交圓于 兩點(diǎn),且滿足 (為參數(shù)).

(1)若，求直線的方程；

(2)若求直線的方程；

(3)求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) 或 (2)  (3)

【解析】本試題主要是考查了直線與圓位置關(guān)系的運(yùn)用。以及直線方程的求解和參數(shù)的求值問題。

（1）因?yàn)楫?dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，不滿足,故可設(shè)所求直線的方程為與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。

（2）設(shè)直線方程與圓聯(lián)立，然后結(jié)合向量的關(guān)系式得到坐標(biāo)關(guān)系，并結(jié)合韋達(dá)定理得到參數(shù)k的值,進(jìn)而得到直線的方程。

（3）可設(shè)所求直線的方程為，

代入圓的方程，整理得，（*）

設(shè)，則為方程（*）的兩根，

由可得

則有，得， ----（12分）

而，由可解得

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為可得。

解：（I）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，不滿足,故可設(shè)所求直線的方程為， ------------（1分）

代入圓的方程，整理得， --------------（2分）

利用弦長公式可求得直線方程為或.--------------（4分）

（II）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 或，不滿足,故可設(shè)所求直線的方程為， ---------------（5分）

代入圓的方程，整理得，

設(shè)，則為方程（*）的兩根，

由可得---------（6分）

則有，得，解得---（8分）

所以直線的方程為-------------（9分）

（III）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

或，或,---------（10分）

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)可設(shè)所求直線的方程為，

代入圓的方程，整理得，（*）

設(shè)，則為方程（*）的兩根，

由可得

則有，得， -----（12分）

而，由可解得

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為-----------（14分）