Question

【題目】已知函數(shù)（，為常數(shù)）在內(nèi)有兩極值點(diǎn)

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性即可證明.

（1）由，可得，

記，有題意，知在上存在兩個(gè)零點(diǎn).

∵，

當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，至少有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，由，得，

（i）若且，即時(shí)，在上遞減，遞增；

則，且，

從而在和上各有一個(gè)零點(diǎn).

所以在上存在兩個(gè)零點(diǎn).

（ii）若，即時(shí)，在上遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，舍去.

（iii）若且，即時(shí)，此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，而在上沒(méi)有零點(diǎn)，舍去.

綜上可得，.

（2）令則

，

，

，

所以，在上遞增，從而，

即，

∴而，且在遞增；

∴，

∴.