Question

已知一扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為R，若扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的圓心角α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

分析：設(shè)出弧長(zhǎng)，由周長(zhǎng)得到弧長(zhǎng)和半徑的關(guān)系，再把弧長(zhǎng)和半徑的關(guān)系代入扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑的二次函數(shù)，配方求出面積的最大值．

解答：解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l+2r=40，
即l=40-2r（0＜r＜40）①
扇形的面積S=

1

2

lr，將①代入，得S=

1

2

（40-2r）r=-r²+20r=-（r-10）²+100，
所以當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)，S有最大值100．此時(shí)
l=40-2×10=20，α=

l

r

=2．
所以當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形的面積取最大值100cm²

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的弧度數(shù)與度數(shù)間的轉(zhuǎn)化，扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．