Question

10．某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費支出（x_i） 用與公司所獲得利潤（y_i）的統(tǒng)計資料如表：
科研費用支出（x_i）與利潤（y_i）統(tǒng)計表   單位：萬元

年份	科研費用支出（xi）	利潤（yi）
2011 2012 2013 2014 2015 2016	5 11 4 5 3 2	31 40 30 34 25 20
合計	30	180

（1）由散點圖可知，科研費用支出與利潤線性相關，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出y關于x的回歸直線方程；
（2）當x=x_i時，由回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$得到的函數(shù)值記為$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，我們將ε=|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-y_i|稱為誤差；
在表中6組數(shù)據(jù)中任取兩組數(shù)據(jù)，求兩組數(shù)據(jù)中至少有一組數(shù)據(jù)誤差小于3的概率；
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：
$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-}\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（x_i^{\;}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法需要的6個數(shù)據(jù)，橫標和縱標的平均數(shù)，橫標和縱標的積的和，與橫標的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．
（2）列舉出所有的基本事件再求出滿足條件的事件的個數(shù)，作商即可．

解答 解：（1）由題意得如下表格

序號	xi	yi	xi•yi	xi2
1	5	31	155	25
2	11	40	440	121
3	4	30	120	16
4	5	34	170	25
5	3	25	75	9
6	2	20	40	4
	$\overline{{x}_{i}}$=5	$\overline{{y}_{i}}$=30	$\sum_{i=1}^{6}$xi•yi=1000	$\sum_{i=1}^{6}$xi2=200

$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$=$\frac{1000-6×5×30}{200-6×52}$=2，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=30-2×5=20，
∴回歸方程是：$\widehat{y}$=2x+20…（6分）
（2）各組數(shù)據(jù)對應的誤差如下表：

序號	xi	yi	$\widehat{{y}_{i}}$	ε
1	5	31	30	1
2	11	40	42	2
3	4	30	28	2
4	5	34	30	4
5	3	25	26	1
6	2	20	24	4

基本事件空間Ω為：
Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}
共15個基本事件
事件“至少有一組數(shù)據(jù)與回歸直線方程求得的數(shù)據(jù)誤差小于3”包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（5，6），共14個基本事件
∴P=$\frac{14}{15}$
即在表中6組數(shù)據(jù)中任取兩組數(shù)據(jù)，兩組數(shù)據(jù)中至少有一組數(shù)據(jù)與回歸直線方程求得的數(shù)據(jù)誤差小于3的概率為$\frac{14}{15}$；…（12分）

點評 本題考查線性回歸分析的應用，本題解題的關鍵是利用最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個題目做對的必備條件，本題是一個中檔題．