Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點(diǎn)
（1）求證：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁與平面ABE所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，利用向量的數(shù)量積公式求出它們的數(shù)量積為0，利用向量垂直的充要條件得到D₁B₁⊥AE；
（2）平面ABE的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角余弦，其絕對值即為D₁B₁與平面ABE所成角θ的正弦值．
解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)正方體的棱長為2，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（02，0），E（0，2，1），D₁（0，0，2），B₁（2，2，2）
所以
∵
∴
∴D₁B₁⊥AE
求出（2）設(shè)平面ABE的法向量
∵
∴
解得
∴
∴
點(diǎn)評：解決直線、平面間的位置關(guān)系、度量關(guān)系時，常通過建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題來解決．