如圖,四棱錐S-ABCD 的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是地面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點。
(Ⅰ)求證:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點E,
使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;
若不存在,試說明理由。
解法一:
(Ⅰ)連BD,設AC交BD于O,由題意。在正方形ABCD中,
,所以
,得
.
(Ⅱ)設正方形邊長,則
。
又,所以
,
連,由(Ⅰ)知
,所以
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
且,所以
是二面角
的平面角。
由,知
,所以
,
即二面角的大小為
。
(Ⅲ)在棱SC上存在一點E,使
由(Ⅱ)可得,故可在
上取一點
,使
,過
作
的平行線與
的交點即為
。連BN。在
中知
,又由于
,故平面
,得
,由于
,故
.
解法二:
(Ⅰ);連,設
交于
于
,由題意知
.以O為坐標原點,
分別為
軸、
軸、
軸正方向,建立坐標系
如圖。
設底面邊長為,則高
。
于是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故
從而
(Ⅱ)由題設知,平面的一個法向量
,平面
的一個法向量
,設所求二面角為
,則
,所求二面角的大小為
(Ⅲ)在棱上存在一點
使
.
由(Ⅱ)知是平面
的一個法向量,
且
設 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
則
而
即當時,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
而不在平面
內(nèi),故
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