Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+m（m∈R）的圖象過點M（

π

12

，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，然后向左平移

π

3

個單位，得函數(shù)g（x）的圖象，若a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a+c=4，且當(dāng)x=B時，g（x）取得最大值，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的函數(shù)，將M坐標(biāo)代入求出m的值，確定出解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)圖象變化規(guī)律確定出g（x）的解析式，根據(jù)x=B取得最大值，求出B的度數(shù)，確定出cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)基本不等式變形，將a+c的值代入，并根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出b的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

-

1

2

cos2x+m=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

，
∵點M（

π

12

，0）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴sin（2×

π

12

-

π

6

）+m-

1

2

=0，
解得：m=

1

2

，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）根據(jù)題意得：g（x）=sin（

1

2

×2x+

π

3

-

π

6

）=sin（x+

π

6

），
∵當(dāng)x=B時，g（x）取得最大值，
∴B+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴B=

π

3

，
∵a+c=4，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理可知b²=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3×（

a+c

2

）²=16-12=4，
∴b＞2，
又b＜a+c=4，
∴b的取值范圍是[2，4）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．