Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求證：函數(shù)f（x） 在（-7，+∞） 內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）若關(guān)于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（2）先分離出參數(shù)m：m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+

1

2x

)下面只須考查1+

1

2x

 的取值范圍結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出m 的取值范圍．

解答：解：（1）證明：任取-7＜x₁＜x₂＜+∞，
則f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2

2x1+1

2x2+1

，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1 
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0 
∴f（x₁）＜f（x₂），…（7分）
所以，函數(shù)f（x） 在（-7，+∞） 內(nèi)單調(diào)遞增．…（8分）
（2）m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+

1

2x

)，…（11分）
當(dāng)1≤x≤2 時，

1

4

≤

1

2x

≤

1

2

，

5

4

≤1+

1

2x

≤

3

2

 …（13分）
∴log2(

5

4

)≤log2(1+

1

2x

)≤log2(

3

2

)，即log2(

5

4

)≤m≤log2(

3

2

) …（15分）
所以，m 的取值范圍是(log2

5

4

 ， log2

3

2

) …（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．