【題目】已知橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),與直線相交于點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn)且滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),試問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn),使得為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)存在,且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【解析】
(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得出的值,由橢圓的離心率可得的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,求出點(diǎn)的坐標(biāo),由點(diǎn)在橢圓上得出,并求出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn),計(jì)算出,由為定值求出,由此可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
由題意可知,且,,則,
因此,橢圓的方程為;
(2)設(shè)點(diǎn)、,
聯(lián)立,消去并整理得,
由韋達(dá)定理得,則,
,即點(diǎn),
由于點(diǎn)在橢圓上,則,化簡(jiǎn)得,
聯(lián)立,得,則點(diǎn),
設(shè)在軸上是否存在一點(diǎn),使得為定值,,
為定值,
則,得,
因此,在軸上存在定點(diǎn),使得為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿足:存在,對(duì)任意的,都有(為常數(shù)),則稱具有性質(zhì)
(1)若無(wú)窮數(shù)列具有性質(zhì),且,求的值
(2)若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,,,判斷是否具有性質(zhì),并說(shuō)明理由.
(3)設(shè)無(wú)窮數(shù)列既具有性質(zhì),又具有性質(zhì),其中互質(zhì),求證:數(shù)列具有性質(zhì)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(0,2),B(0,﹣2),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足PA,PB的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m,C的右焦點(diǎn)為F,直線l與C交于M,N兩點(diǎn),若F是△AMN的垂心,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問(wèn)題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個(gè)居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn):用水量不超過(guò)的部分按照平價(jià)收費(fèi),超過(guò)的部分按照議價(jià)收費(fèi)).為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),通過(guò)抽樣獲得了40位居民某年的月均用水量(單位:噸),按照分組制作了頻率分布直方圖,
(1)從頻率分布直方圖中估計(jì)該40位居民月均用水量的眾數(shù),中位數(shù);
(2)在該樣本中月均用水量少于1噸的居民中隨機(jī)抽取兩人,其中兩人月均用水量都不低于0.5噸的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(a,bR).
(1)當(dāng)b=﹣1時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a+b=1時(shí),函數(shù)的最小值為2,求a的值;
(3)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,b,證明:存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形中, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn), ,沿將翻折到,連接,得到如圖的五棱錐,且
(1)求證: 平面(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值;
(2)若函數(shù)在上存在零點(diǎn),證明:.
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