Question

【題目】已知橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得出的值，由橢圓的離心率可得的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)在橢圓上得出，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，計(jì)算出，由為定值求出，由此可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

由題意可知，且，，則，

因此，橢圓的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，

聯(lián)立，消去并整理得，

由韋達(dá)定理得，則，

，即點(diǎn)，

由于點(diǎn)在橢圓上，則，化簡(jiǎn)得，

聯(lián)立，得，則點(diǎn)，

設(shè)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為定值，，

為定值，

則，得，

因此，在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.