已知數(shù)列a1,a2,…an,…和數(shù)列b1,b2,…,bn…,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n≥2),(p,q,r是已知常數(shù),且q≠0,p>r>0),用p,q,r,n表示bn,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
分析:先根據(jù)a
n=pa
n-1求出a
n的表達(dá)式,然后代入n=1,2,3進(jìn)行求出b
1、b
2、b
3的式子,猜想
bn=.然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明.
解答:解:∵a
1=p,a
n=pa
n-1,
∴a
n=p
n.又b
1=q,
b
2=qa
1+rb
1=q(p+r),
b
3=qa
2+rb
2=q(p
2+pq+r
2),
設(shè)想
bn=q(pn-1+pn-2r+…+rn-1)=.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=2時(shí),
b2=q(p+r)=,等式成立;
設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即
bk=,
則b
k+1=qa
k+rb
k=
qpk+=,
即n=k+1時(shí)等式也成立,
所以對于一切自然數(shù)n≥2,
bn=都成立.
點(diǎn)評:本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)學(xué)歸納法的證明.考查綜合運(yùn)用能力.