Question

給出定義：若m-

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＜x≤m+

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（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．現(xiàn)給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題，其中正確命題的序號是（　�。�
①y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

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]； ②y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
③y=f（x）在[-

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，

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]上是增函數(shù)；      ④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

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（k∈Z）對稱．

• A、①②
• B、②④
• C、①②③
• D、①②④

Answer 1

分析：本題為新定義問題，由已知中若m-

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＜x≤m+

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（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．因為m為整數(shù)，故可取m為幾個特殊的整數(shù)進(jìn)行研究．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時，-

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＜x≤

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，f（x）=|x|，
m=1時，1-

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＜x≤1+

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，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

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＜x≤2+

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，f（x）=|x-2|，
由圖象可知：
①y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

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]，正確；
②y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，正確；
③y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)，錯誤；     
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，正確；
故選D

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)對稱性質(zhì)的判斷與證明，也是一個新定義問題，考查函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想．