Question

在兩個各項均為正數(shù)的數(shù)列a_n、b_n（n∈N^*）中，已知a_n、b_n²、a_n+1成等差數(shù)列，并且b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：數(shù)列b_n是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁=2，a₂=6，設(shè)cn=(an-n2)•qbn（q＞0為常數(shù)），求數(shù)列c_n的前n項和S_n

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)立方程求得a_n+1=b_nb_n+1，進(jìn)而求得a_n=b_n-1b_n，代入2b_n²=a_n+a_n+1，求得2b_n=b_n-1+b_n+1，判斷出數(shù)列b_n是等差數(shù)列．
（Ⅱ）2b_n²=a_n+a_n+1求得b₁，根據(jù)（1）中的結(jié)論求得數(shù)列{b_n}的通項公式，進(jìn)而根據(jù)a_n=b_n-1b_n，求得a_n．進(jìn)而C_n的通項公式可得先看當(dāng)q=1時，C_n=n，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得前n項的和；再看q≠0時，應(yīng)用錯位相減法求得前n項的和．最后綜合可得答案．

解答：解：（I）由題意知

2bn2=an+an+1 an+12=bn2•bn+12

，
又∵數(shù)列a_n、b_n各項都是正數(shù)，∴a_n+1=b_nb_n+1，則a_n=b_n-1b_n
代入2b_n²=a_n+a_n+1，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1，所以數(shù)列b_n是等差數(shù)列．

（II）∵a₁=2，a₂=6，又2b_n²=a_n+a_n+1，得2b₁²=a₁+a₂=8，解得b₁=2
又∵a₂=b₁b₂=6∴b₂=3，由（I）知數(shù)列b_n是等差數(shù)列，則公差d=b₂-b₁=1
∴b_n=b₁+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又a_n=b_n-1b_n，得a_n=n（n+1）=n²+n，
∴cn=(an-n2)•qbn=nqn+1，
則當(dāng)q=1時，c_n=n，此時Sn=

n(n+1)

2

；
當(dāng)q≠1時，S_n=c₁+c₂++c_n=1×q²+2×q³++nqⁿ⁺¹，①
所以qS_n=qc₁+qc₂++qc_n=1×q³+2×q⁴++nqⁿ⁺²②
由①-②，得(1-q)Sn=q2+q3+qn+1-nqn+2=

q2(1-qn)

1-q

-nqn+2，
即Sn=

q2(1-qn)

(1-q)2

-

nqn+2

1-q

綜上可知，Sn=

n(n+1) 2 ，(q=1) q2(1-qn) (1-q)2 - nqn+2 1-q ，(q≠1)

點評：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．考查了學(xué)生對等比數(shù)列和等差數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握．