Question

若圓上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)P，Q，他們到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，則稱該圓為“完美型”圓．下列圓中是“完美型”圓的是（　�。�

A．x²+y²=1

B．x²+y²=16

C．（x-4）²+（y-4）²=4

D．（x-4）²+（y-4）²=16

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出到直線l距離等于1的兩條平行線方程為3x+4y-7=0或3x+4y-17=0，當(dāng)圓與這兩條直線共有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)滿足該圓為“完美型”圓．由此對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)中的圓分別加以判斷，可得本題答案．

解答：解：設(shè)直線l'：3x+4y+m=0，l'與l的距離等于1
則

|-12-m|

5

=1，解之得m=-7或-17，即l'的方程為3x+4y-7=0或3x+4y-17=0
可得當(dāng)圓與3x+4y-7=0、3x+4y-17=0恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，滿足該圓為“完美型”圓．
對(duì)于A，因?yàn)樵�點(diǎn)到直線l'的距離d=

7

5

或

17

5

，兩條直線都與x²+y²=1相離
故x²+y²=1上不存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故A不符合題意
對(duì)于B，因?yàn)樵�點(diǎn)到直線l'的距離d=

7

5

或

17

5

，兩條直線都與x²+y²=16相交
故x²+y²=16上不存在4個(gè)點(diǎn)，使點(diǎn)到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故B不符合題意
對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)（4，4）到直線l'的距離d=

21

5

或

11

5

，兩條直線都與（x-4）²+（y-4）²=4相離
故（x-4）²+（y-4）²=4上不存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故C不符合題意
對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)（4，4）到直線l'的距離d=

21

5

或

11

5

，
所以兩條直線中3x+4y-7=0與（x-4）²+（y-4）²=16相離，而3x+4y-17=0（x-4）²+（y-4）²=16相交
故（x-4）²+（y-4）²=16上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)P、Q，使點(diǎn)到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故D符合題意
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出“完美型”圓的定義，判斷幾個(gè)圓中是否為“完美型”圓．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．