Question

已知n（n∈N^*，n≥2）是常數(shù)，且x₁，x₂，…，x_n是區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)n=366時(shí)，函數(shù)f（x_n）=sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁的最大值為

183

．

Answer 1

分析：利用柯西不等式，先證明結(jié)論sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁≤

1

2

n，等號(hào)成立的條件是sinx_n=cosx_n（n=1.2…n）
即x₁=x₂=…x_n=45°時(shí)，等號(hào)成立，再令n=366，代入即可得結(jié)論．

解答：解：用柯西不等式
[（sinx₁）²+（cosx₁）²+…（sinx_n）²+（cosx_n）²][（sinx₁）²+（cosx₁）²+…（sinx_n）²+（cosx_n）²]
≥[（sinx₂cosx₁+sinx₃cosx₂+…sinx₁cosx_n）+（sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁）]²
∵sinx₂cosx₁+sinx₃cosx₂+…sinx₁cosx_n-（sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁）
=sin（x₂-x₁）+sin（x₃-x₂）+…sin（x₁-x_n）
把這些數(shù)按照x₂≤x₃≤x₄≤…≤x_n≤x₁的排列（根據(jù)這些數(shù)據(jù)的任意性，這樣是做到的）
那么上式大于等于0
∴sinx₂cosx₁+sinx₃cosx₂+…sinx₁cosx_n≥sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁
∴（sinx₁）²+（cosx₁）²+…（sinx_n）²+（cosx_n）²≥2（sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁）
∵左邊=n
∴sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁≤

1

2

n
等號(hào)成立的條件是sinx_n=cosx_n（n=1.2…n）
即x₁=x₂=…x_n=45°時(shí)，等號(hào)成立
令n=366，則sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁≤

1

2

×366=183
∴sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁最大值為183
故答案為：183．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，考查柯西不等式，考查求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確理解與運(yùn)用柯西不等式，利用取等號(hào)的條件求最值．