Question

（1）f(x)=

ln(x+1)

x

(x＞0)，求證：若m＞n＞0，則f（m）＜f（n）．
（2）求g（x）=lnx-ax²在[1，2]上的最大最小值．

Answer 1

分析：（1）【方法一】設B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））是函數(shù)y=ln（x+1）圖象上兩點，則f（m），f（n）分別是B、A兩點與原點連線的斜率，由k_OA＞k_OB，得f（m）＜f（n）；      
【方法二】：求f（x）的導函數(shù)，利用導函數(shù)判定f（x）的增減性，證明m＞n＞0時，f（m）＜f（n）；
（2）求g（x）的導函數(shù)g'（x），討論a的取值，g'（x）是否大于0，還是小于0，從而確定g（x）在[1，2]上的增減性，從而求出g（x）的最值．

解答：解：（1）證明【方法一】：設B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））為函數(shù)y=ln（x+1）圖象上兩點，
f（m），f（n）分別B、A兩點與原點連線的斜率，顯然k_OA＞k_OB，即f（m）＜f（n）；      
【方法二】：∵f(x)=

ln(x+1)

x

(x＞0)，∴f′(x)=

x x+1 -ln(x+1)

x2

，
令h(x)=

x

x+1

-ln(x+1)，則h′(x)=

1

(x+1)2

-

1

x+1

=

-x

(x+1)2

＜0；
∴h（x）是減函數(shù)，
由x＞0得，h（x）＜h（0）=0；
∴f'（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)；
由m＞n＞0，可得f（m）＜f（n）；
（2）∵g（x）=lnx-ax²，
∴g′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

；
令g'（x）=0，得2ax²=1    …①，
當a≤0時，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上為增函數(shù)；
∴最大值為g（2），最小值為g（1）；
當a＞0時，由①得x=

1 2a

若

1 2a

≥2，即0＜a≤

1

8

時，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)；
∴最大值為g（2），最小值為g（1）；
若

1 2a

≤1，即a≥

1

2

時，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上為減函數(shù)；
∴最大值為g（1），最小值為g（2）；
若1＜

1 2a

＜2，即

1

8

＜a＜

1

2

時，g（x）在（1，

1 2a

）上為增函數(shù)，在（

1 2a

，2）上為減函數(shù)；
∴最大值為g(

1 2a

)=-

1

2

ln2a-

1

2

，
最小值為g（2），g（1）中的較小的數(shù)，
∵g（2）-g（1）=ln2-3a，
若a≤

1

3

ln2，則g（2）≥g（1），
若a＞

1

3

ln2，則g（1）＜g（1），
∴當

1

8

＜a≤

1

3

ln2時，最小值為g（1），
當

1

3

ln2＜a＜

1

2

時，最小值為g（2）；
綜上得：當a≤

1

8

時，最大值為ln2-4a，最小值為-a；
當

1

8

＜a≤

1

3

ln2時，最大值為-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值為-a；
當

1

3

ln2＜a＜

1

2

時，最大值為-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值為ln-4a；
當a≥

1

2

時，最大值為-a，最小值為ln2-4a．

點評：本題考查了利用導函數(shù)來研究函數(shù)的單調性與求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是比較容易出錯的題目．