Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取DE中點G，以BC中點O為原點，OC、OA分別為x、y軸，建系如圖空間坐標(biāo)系，則得出A、B、C、D、E、F、G各點的坐標(biāo)，則有

DE

=（2，0，2），

DF

=（1，

3

，1）．然后用數(shù)量積為0的方法，得到平面DEF的一個法向量為

m

=（1，0，-1），從而有

OA

•

m

=0，證出OA∥平面DEF；
（2）平面BCED的一法向量為

OA

=（0，

3

，0），可算出

OA

•

m

=0，平面BCED的法向量與平面DEF的法向量互相垂直，從而得到平面DEF⊥平面BCED；
（3）平面DEF的一個法向量

m

=（1，0，-1），平面ABC的一個法向量

n

=（0，0，1），利用向量數(shù)量的坐標(biāo)公式，可得cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

2

2

，從而得到平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值

2

2

．

解答：證明：（1）取DE中點G，以BC中點O為原點，OC、OA分別為x、y軸，
建系如圖空間坐標(biāo)系，則可得
A（0，

3

，0）、B（-1，0，0）、C（1，0，0）、
D（-1，0，1），E（1，0，3）、F（0，

3

，2）、G（0，0，2），
∴

DE

=（2，0，2），

DF

=（1，

3

，1）．
設(shè)平面DEF的一法向量

m

=（x，y，z），
則

m • DE =0 m • DF =0

即

x+z=0 x+ 3 y+z=0

，取x=1，則y=0，z=-1，
可得

m

=（1，0，-1），
∵

OA

=（0，

3

，0），

OA

•

m

=0，
∴

OA

⊥

m

．又OA?平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）因為直線AO是平面BCDE的一條垂線，
∴平面BCED的一法向量為

OA

=（0，

3

，0），
∵

OA

•

m

=0，平面BCED的法向量與平面DEF的法向量互相垂直
∴平面DEF⊥平面BCED
（3）由（1）知平面DEF的一個法向量

m

=（1，0，-1），
平面ABC即xoy坐標(biāo)平面，可得它的一個法向量

n

=（0，0，1），
∵

m

•

n

=-1，

|m|

=

2

，

|n|

=1
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

2

2

∴求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為|cos＜

m

，

n

＞|=

2

2

．

點評：本題利用空間坐標(biāo)的方法證明了線面平行、面面垂直，并且計算了兩個平面所成的銳二面角的余弦值，著重考查了用空間向量解決立體幾何中平面間的夾角和平行垂直的證明有關(guān)知識點，屬于基礎(chǔ)題．