Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x=0是F（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）當 a=1時，設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁＞0，x₂＞0），且PQ∥x軸，求P、Q兩點間的最短距離；
（Ⅲ）若x≥0時，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根據(jù)題意先求出函數(shù)F（x）的函數(shù)表達式，再求出其導(dǎo)函數(shù)F′（x），令F′（0）=0便可求出a的值；
（Ⅱ）、根據(jù)題意可知（x₁）=g（x₂），令h（x）=x₂-x₁=e^x+sinx-x，求出其導(dǎo)函數(shù)，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離；
（Ⅲ）、令φ（x）=F（x）-F（-x），求出其導(dǎo)函數(shù)，便可求出φ（x）的單調(diào)性，進而可求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=e^x+sinx-ax，F(xiàn)′（x）=e^x+cosx-a．
因為x=0是F（x）的極值點，所以F′（0）=1+1-a=0，a=2．（2分）
又當a=2時，若x＜0，F(xiàn)'（x）=e^x+cosx-a＜0；若x＞0，F(xiàn)'（x）=e^x+cosx-a＞0．
∴x=0是F（x）的極小值點，
∴a=2符合題意．（4分）
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x軸，由f（x₁）=g（x₂）得：x2=ex1+sinx1，
所以x2-x1=ex1+sinx1-x1．
令h（x）=e^x+sinx-x，h′（x）=e^x+cosx-1＞0，當x＞0時恒成立．
∴x∈[0，+∞）時，h（x）的最小值為h（0）=1．
∴|PQ|_min=1．（9分）
（Ⅲ）令φ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax．
則φ′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a．S（x）=φ′′（x）=e^x-e^-x-2sinx．
因為S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當x≥0時恒成立，（11分）
所以函數(shù)S（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，（12分）
∴S（x）≥S（0）=0當x∈[0，+∞）時恒成立；
因此函數(shù)φ′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，φ′（x）≥φ′（0）=4-2a當x∈[0，+∞）時恒成立．
當a≤2時，φ′（x）≥0，φ（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，即φ（x）≥φ（0）=0．
故a≤2時F（x）≥F（-x）恒成立．（13分）

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，是各地高考的熱點和難點，屬于中檔題，同學(xué)們要加強訓(xùn)練．