Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

2

），x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若f（α）=

3

4

，求sin4α的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）由f（α）=

3

4

，可得sin2α-cos2α=

1

4

，兩邊平方可求sin4α的值．

解答：解：（1）f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

2

）=1+cos2x-sin2x=1+

2

cos（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由（2x+

π

4

）∈[-π+2kπ，2kπ]，
可得x∈[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]（k∈Z）       
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]（k∈Z）．
（3）∵f（α）=

3

4

，
∴1+cos2α-sin2α=

3

4

，
∴sin2α-cos2α=

1

4

，
兩邊平方可得1-sin4α=

1

16

，
∴sin4α=

15

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．