Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x+1|}，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$若實數(shù)x₁、x₂、x₃、x₄，滿足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$]
• C． （1，$\frac{9}{2}$]
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖
當x≤0時，二次函數(shù)的對稱軸為x=-1，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
當x=-1時，f（-1）=1，當x=0時，f（0）=2，
由|log₂x|=2，得x=4或x=$\frac{1}{4}$，
由|log₂x|=1，得x=2或x=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{4}$≤x₃＜$\frac{1}{2}$，2＜x₄＜4，x₁，x₂關(guān)于x=-1對稱，則x₁+x₂=-2，
則由f（x₃）=f（x₄）得|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
則log₂x₂+log₂x₄=0，
即log₂x₃x₄=0，
則x₃x₄=1，即x₄=$\frac{1}{{x}_{3}}$，
則x₁+x₂+x₃+x₄=-2+x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，
∵y=-1+x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$在$\frac{1}{4}$≤x₃＜$\frac{1}{2}$上是減函數(shù)，
∴當x₃=$\frac{1}{2}$，y=-2+$\frac{1}{2}$+2=$\frac{1}{2}$，
當x₃=$\frac{1}{4}$，y=-2+$\frac{1}{4}$+4=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{2}$＜x₁+x₂+x₃+x₄≤$\frac{9}{4}$，
即x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$]，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及對勾函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．