已知A（
1
4
，0），點(diǎn)B是y軸上的動點(diǎn)，過B作AB的垂線l交x軸于點(diǎn)Q，若
AP
+
AQ
=2
AB
，M（4，0）．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）是否存在定直線x=a，以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長為定值，若存在，求出定直線方程；若不存在，請說明理由．
分析：（1）由題意設(shè)出B，Q的坐標(biāo)，利用直角三角形中的射影定理得到B，Q坐標(biāo)的關(guān)系，然后結(jié)合題目給出的向量等式列式，消掉參數(shù)后即可求得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）因?yàn)镻在（1）中的拋物線上，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出PM的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦心距公式列式求出以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長，有現(xiàn)場為定值可求得定值a的值．
解答：解：（1）設(shè)B（0，t），設(shè)Q（m，0），t2=
1
4
|m|，∵m≤0，∴m=-4t2，
∴Q（-4t2，0），設(shè)P（x，y），則
AP
=（x-
1
4
，y），
AQ
=（-4t2-
1
4
，0），

2
AB
=（-
1
2
，2t），∵
AP
+
AQ
=2
AB
．
∴（x-
1
4
，y）+（-4t2-
1
4
，0）=（-
1
2
，2t），
∴x=4t2，y=2t，∴y2=x，此即點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）存在定直線x=
15
4
，以PM為直徑的圓與直線x=
15
4
的相交弦長為定值
15
．
事實(shí)上，由（1）知點(diǎn)P的軌跡方程是y2=x．
設(shè)P（y2，y），∵M(jìn) （4，0），
則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點(diǎn)T（
y2+4
2
，
y
2
），
以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長：
L=2
(
y2+4
2
-4)2+(
y
2
-0)2-(
y2+4
2
-a)2

=2
(a-4)(y2-a)+
y2
4
=2
(a-
15
4
)y2-a(a-4)

若a為常數(shù)，則對于任意實(shí)數(shù)y，L為定值的條件是a-
15
4
=0，即a=
15
4
時，L=
15
．
∴存在定直線x=
15
4
，以PM為直徑的圓與直線x=
15
4
的相交弦長為定值
15
．
點(diǎn)評：本題考查了與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程的求法，考查了直線與圓的關(guān)系，訓(xùn)練了利用弦心距求弦長，是有一定難度題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)C(
1
4
，0)，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右準(zhǔn)線l1+x=2與x軸相交于點(diǎn)D，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得(
CA
+
CB
)⊥
BA
？若存在，求出直線l；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F(-
1
4
，0)，直線l：x=
1
4
，點(diǎn)B是直線l上的動點(diǎn)，若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M所在曲線是（　　）
A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2，0），B（2，0），P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為-
1
4
，記動點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)M，N是曲線C上的兩個動點(diǎn)，且
DM
=λ
DN
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F(
1
4
，0)，直線l：x=-
1
4
，點(diǎn)B是l上的動點(diǎn)．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是（　　）

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