Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-[x]）•|x-1|，（0≤x＜2）}\\{1，（x=2）}\end{array}\right.$，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)n∈N^*，定義函數(shù)f_n（x）：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2），則下列說法正確的有
①y=$\sqrt{x-f（x）}$的定義域為$[{\frac{2}{3}，2}]$；
②設(shè)A={0，1，2}，B={x|f₃（x）=x，x∈A}，則A=B；
③${f_{2016}}（\frac{8}{9}）+{f_{2017}}（\frac{8}{9}）=\frac{13}{9}$；
④若集合M={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，
則M中至少含有8個元素．（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 對于①，先根據(jù)定義域選擇解析式來構(gòu)造不等式，當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x求解；當1＜x≤2時，由x-1≤x求解，取后兩個結(jié)果取并集；
對于②，先求得f（0），f（1），f（2），再分別求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再觀察與自變量是否相等即可；
對于③，看問題有2016，2017求值，一定用到周期性，所以先求出幾個，觀察是以4為周期，求解即可；
對于④，結(jié)合①②③可得$\frac{2}{3}$、0、1、2、$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M，進而可得結(jié)論．

解答 解：當0≤x＜1時，f（x）=2（1-x）；
當1≤x≤2時，f（x）=x-1．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（1-x），0≤x＜1}\\{x-1，1≤x≤2}\end{array}\right.$，
畫出y=f（x）在[0，2]的圖象．
對于①，可得f（x）≤x，當1≤x≤2時，x-1≤x成立；
當0≤x＜1時，2（1-x）≤x，解得$\frac{2}{3}$≤x＜1，即有定義域為{x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}，
故①正確；
對于②，當x=0時，f₃（0）=f[f₂（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；
當x=1時，f₃（1）=f[f₂（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；
當x=2時，f₃（2）=f[f₂（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；
即有A=B，故②正確；
對于③，f₁（$\frac{8}{9}$）=2（1-$\frac{8}{9}$）=$\frac{2}{9}$，f₂（$\frac{8}{9}$）=f（f（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{2}{9}$）=2（1-$\frac{2}{9}$）=$\frac{14}{9}$，
f₃（$\frac{8}{9}$）=f（f₂（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{14}{9}$）=$\frac{14}{9}$-1=$\frac{5}{9}$，f₄（$\frac{8}{9}$）=f（f₃（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{5}{9}$）=2（1-$\frac{5}{9}$）=$\frac{8}{9}$，
一般地，f_4k+r（$\frac{8}{9}$）=f_r（$\frac{8}{9}$）（k，r∈N）．
即有f₂₀₁₆（$\frac{8}{9}$）+f₂₀₁₇（$\frac{8}{9}$）=f₄（$\frac{8}{9}$）+f₁（$\frac{8}{9}$）=$\frac{8}{9}$+$\frac{2}{9}$=$\frac{10}{9}$，故③不正確；
對于④，由（1）知，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，∴f_n（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，則f₁₂（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{2}{3}$∈M．
由（2）知，對x=0、1、2，恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=x，則0、1、2∈M．
由（3）知，對x=$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$，恒有f₁₂（x）=x，∴$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M．
綜上所述$\frac{2}{3}$、0、1、2、$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M．
∴M中至少含有8個元素．故④正確．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)及分段不等式的解法，元素與集合關(guān)系的判定，函數(shù)的周期性，函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)問題要注意分類討論，還考查了分段函數(shù)多重求值，要注意從內(nèi)到外，根據(jù)自變量取值選擇好解析式．