Question

已知數(shù)列 {a_n}，其中a₂=6且 =n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求（++…+ ）．

Answer 1

解：（1）∵a₂=6且 =n，
∴=1，=2，=3，
解得a₁=1，a₃=15，a₄=28，
（2）由此猜想a_n=n（2n﹣1）
下面用數(shù)學歸納法加以證明：
①當n=1時，a₁=1×（2×1﹣1）=1，結論正確；
當n=2時，a₂=2×（2×2﹣1）=6，結論正確；
②假設n=k（k≥2）時結論正確，即a_k=k（2k﹣1），則當n=k+1時，
∵=k，∴（k﹣1）a _k+1=（k+1）a_k﹣（k+1）=（k+1）k（2k﹣1）﹣（k+1）=（k+1）（2k²﹣k﹣1）=（k+1）（2k+1）（k﹣1），
∵k﹣1≠0，∴a _k+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）﹣1]，
即當n=k+1時，結論正確
由①②可知，數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=n（2n﹣1）
（3）∵==[﹣]
∴（++…+ ）=（1﹣）=