Question

已知

a

=（sinx，1），

b

=（cosx，

1

2

），f（x）=

a

•（

a

-k

b

）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為

5- 3

2

，則函數(shù)f（x）的圖象能否由函數(shù)g（x）=2

a

•

b

的圖象經(jīng)過平移得到？若能，則寫出一個平移向量

m

；若不能，則說明理由．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）利用（1）的結(jié)論，建立方程，求出k的值，從而可得函數(shù)f（x），g（x）的解析式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•（

a

-k

b

）=

a

²-k

a

•

b

=sin²x+1-k（sinxcosx+

1

2

）=

1

2

（1-cos2x）+1-

1

2

k（sin2x+1）
=

1

2

（3-k）-

1

2

（ksin2x+cos2x）=

1

2

（3-k）-

1

2

k2+1

sin（2x+θ）．
故所求函數(shù)f（x）的值域為[

1

2

（3-k）-

1

2

k2+1

，

1

2

（3-k）+

1

2

k2+1

]．
（2）∵函數(shù)f（x）的最大值為

5- 3

2

，
∴

1

2

（3-k）+

1

2

k2+1

=

5- 3

2

，解得k=

3

．
∴f（x）=

1

2

（3-

3

）-sin（2x+

π

6

）=

1

2

（3-

3

）+sin（2x+

7

6

π）．
又∵g（x）=2

a

•

b

=2sinxcosx+1=sin 2x+1，
∴函數(shù)g（x）=2

a

•

b

的圖象按向量

m

=（-

7

12

π，1-

3

2

）平移后便得到函數(shù)f（x）的圖象．

點評：本題考查向量是數(shù)量積公式，考查二倍角、輔助角公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．