Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1，a₁=3，
（1）求證：數(shù)列{

an-1

2n

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n；
（3）令

1

bn-1

=

an-1

2n

，Tn為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的積，求證：T_n＞

2n+1

．

Answer 1

（1）an+1=2an+2n+2-1?an+1-1=2(an-1)+2n+2?

an+1-1

2n+1

=

an-1

2n

+2，
∴{

an-1

2n

}是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列
（2）由（1）知：

an-1

2n

=2n-1，
∴an=(2n-1)•2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=n+6+(2n-3)•2n+1
（3）∵

1

bn-1

=

an-1

2n

=2n-1
∴bn=

2n

2n-1

，
∵T_n=b₁b₂b₃•…•b_n
當(dāng)n=1時(shí)，T1=b1=2＞

2×1+1

不等式成立
假設(shè)n=k（k∈N*）不等式b1•…•bk＞

2k+1

成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有b1•…•bk•bk+1＞

2k+1

•

2k+2

2k+1

=

2k+2

2k+1

∵

2k+2

2k+1

=

4k2+8k+4

2k+1

＞

4k2+8k+3

2k+1

=

(2k+1)(2k+3)

2k+1

=

2k+3

∴b1•…•bk+1＞

2(k+1)+1

即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．綜上，當(dāng)n∈N*時(shí)，原不等式成立．