Question

已知△AOB的頂點(diǎn)A在射線上，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且線段AB上有一點(diǎn)M滿足|AM|•|MB|=3．當(dāng)點(diǎn)A在l上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-1，0），Q（2，0），求證：∠MQP=2∠MPQ．

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以AB邊所在直線與y軸平行．
設(shè)M（x，y），由題意，得，
所以，
因?yàn)閨AM|•|MB|=3，
所以，即，
所以點(diǎn)M的軌跡W的方程為．
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₀，y₀）（x₀＞0），
因?yàn)榍�線關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以只要證明“點(diǎn)M在x軸上方及x軸上時(shí)，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下給出“當(dāng)y₀≥0時(shí)，∠MQP=2∠MPQ”的證明過(guò)程．
因?yàn)辄c(diǎn)M在上，所以x₀≥1．
當(dāng)x₀=2時(shí)，由點(diǎn)M在W上，得點(diǎn)M（2，3），
此時(shí)MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以，則∠MQP=2∠MPQ；
當(dāng)x₀≠2時(shí)，直線PM、QM的斜率分別為，
因?yàn)閤₀≥1，x₀≠2，y₀≥0，所以，且，
又tan∠MPQ=k_PM，所以，且，
所以=，
因?yàn)辄c(diǎn)M在W上，所以，即y₀²=3x₀²-3，
所以tan2∠MPQ=，
因?yàn)閠an∠MQP=-k_QM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/70501.png' />，且，∠MQP∈（0，π），
所以∠MQP=2∠MPQ．
綜上，得當(dāng)y₀≥0時(shí)，∠MQP=2∠MPQ．
所以對(duì)于軌跡W的任意一點(diǎn)M，∠MQP=2∠MPQ成立．
分析：（Ⅰ）由A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，得到AB邊所在直線與y軸平行．設(shè)M（x，y），由題意得出x，y之間的關(guān)系即為點(diǎn)M的軌跡W的方程．
（Ⅱ）先設(shè)M（x₀，y₀）（x₀＞0），因?yàn)榍�線關(guān)于x軸對(duì)稱，所以只要證明“點(diǎn)M在x軸上方及x軸上時(shí)，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、雙曲線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸思想．屬于中檔題．