Question

(廣東六校聯(lián)考模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/FONT>R，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0且f(2)=6．

(1)求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

(2)證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；

(3)在區(qū)間[－4，4]上，求f(x)的最值．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：∵，f(x＋y)=f(x)＋f(y)， ∴令x=y=0， 得f(0)=f(0)＋f(0)，　　　　　　　(1分) ∴f(0)=0．　　　　　　　　　　　　(2分) 令y=－x， 得f(0)=f(x)＋f(－x)，　　　　　　　(3分) 即f(－x)=－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．　　　　　　　　(4分) (2)設(shè)，且，　　　　　　(5分) 則．　　(6分) 又∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0， ∴，　　　　　　　　(7分) 即．　　　　　　　　　　　　　　(8分) ∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．　　　　　　　　(9分) (3)∵函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4，4]上也是增函數(shù)， (10分) ∴函數(shù)f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)．　　(11分) ∵f(2)=6，∴f(4)=f(2＋2)=f(2)＋f(2)=12．　　　(12分) ∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－4)=－f(4)=－12．　　　　　　　　　　　(13分) 故函數(shù)f(x)最大值為12，最小值為－12．　　　　(14分)