Question

（文科）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)點(diǎn) F₁作傾斜角為30°的直線l，l與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若線段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A．y=±x
• B．y=±

  3

  x
• C．y=±

  2

  x
• D．y=±2x

Answer 1

分析：由于線段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上，連接MF₂，則|MF₁|=|MF₂|=|PM|=

1

2

|PF₁|⇒△PF₁F₂為直角三角形，△PMF₂為等邊三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=

3

|MF₁|=2

3

a⇒c=

3

a，由c²=a²+b²可求得b=

2

a，于是 雙曲線的漸近線方程可求．

解答：解：連接MF₂，由過(guò)點(diǎn) PF₁作傾斜角為30°，線段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=

1

2

|PF₁|，
∴△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形，
∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=

3

|MF₁|=2

3

a
∴c=

3

a，又c²=a²+b²，
∴3a²=a²+b²，
∴b=

2

a，
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±

b

a

x=±

2

x．   
故選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是對(duì)雙曲線定義的靈活應(yīng)用及對(duì)三角形△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形的分析與應(yīng)用，屬于難題．