Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（1）當(dāng)a=0時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x））在[-3，0]上的最大值和最小值．（參考數(shù)據(jù)：e≈2.71828，e²≈7.38905）

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=0代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a進(jìn)行討論，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)a的不同取值得出的結(jié)論綜上所述即可；
（3）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值與最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x²e^x，f'（x）=（x²+2x）e^x，故f'（1）=3e，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為3e，f（1）=e，
所以該切線方程為y-e=3e（x-1），
整理得：3ex-y-2e=0．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f′（x）=0  解得x=-2a  或x=a-2以下分三種情況討論．
①若a＞

2

3

，則-2a＜a-2．當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：
-
所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)在（-a，a-2）內(nèi)是減函數(shù)
②若a＜

2

3

，則-2a＞a-2
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（a-2，-2a）內(nèi)是減函數(shù)，
③若a=

2

3

，則-2a=a-2函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
（3）由（2），當(dāng)a=1時，得f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-1，+∞）遞增，
在在（-2，-1）遞減，
∴f（-2）=3e^-2是f（x）在x∈[-3，0]的極大值；
f（-1）=e^-1是f（x）在x∈[-3，0]的極小值（8分）
又f（0）=1，f（-3）=7e^-3
∴最大值為f（0）=1，最小值為f（-3）=7e^-3

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．