Question

于直線m、n與平面α、β,有下列四個命題:

①若m∥α,n∥β且α∥β,則m∥n;

②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m⊥n;

③若m⊥α,n∥β且α∥β,則m⊥n;

④若m∥α, n⊥β且α⊥β,則m∥n.

其中真命題的序號是(　　)

A.①②           B.③④           C.①④           D.②③

Answer 1

D

解析:

本題考查線線、線面、面面平行,垂直的判定和性質(zhì).①④錯誤可以通過反例證明.

如圖(1),①利用正方體模型α∥β,?m∥α,n∥β,但M與n不平行.∴①錯誤.

如圖(2),④m∥α,n⊥β,α⊥β,但M與n相交.

如圖(3),②設(shè)α∩β=l,在l上任取一點O,在平面α內(nèi),過點O作n′⊥l;

在平面β內(nèi),過點O作M′⊥l.

∵α⊥β,∴n′⊥β,m′⊥α.

∵m⊥α,n⊥β,

∴m′∥M,n′∥n.

∴m與n所成的角為m′與n′所成的角.

∵m′⊥α,,

∴m′⊥n′.∴m⊥n.

如圖(4),③∵n∥β,

∴過n作平面γ使γ∩β=n′,

∴n∥n′.

∵α∥β,m⊥α,∴M⊥β.

∵,∴m⊥n′.∴m⊥n.

∴②③正確.