Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx
（1）若曲線h（x）=f（x）+ax²-ex（a∈R）在點(diǎn)（1，h（1））處的切線垂直于y軸，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在區(qū)間（0，2）上無極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把f（x）代入曲線h（x），求h（x）的導(dǎo)函數(shù)，讓導(dǎo)函數(shù)在x=1時(shí)的函數(shù)值為0，求解a的值，把a(bǔ)值代回原函數(shù)，由h^′（x）大于0和小于0分別求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在區(qū)間（0，2）上無極值，說明函數(shù)F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)函數(shù)，把函數(shù)F（x）求導(dǎo)后根據(jù)a的符號(hào)不同對(duì)a進(jìn)行分類討論，以保證導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（0，2）上大于0或小于0恒成立，從而求出a的具體范圍．

解答：解：（1）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+ax²-ex=e^x+ax²-ex
∴h^′（x）=e^x+2ax-e，
又∵曲線h（x）在點(diǎn)（1，h（1））處的切線垂直于y軸
∴k=h^′（1）=2a，
由k=2a=0得a=0，
∴h（x）=e^x-ex∴h^′（x）=e^x-e，
令h^′（x）=e^x-e＞0得x＞1，
令h^′（x）=e^x-e＜0得x＜1，
∴故h（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，1）．
（2）∵F(x)=1-

a

x

-g(x)=1-

a

x

-lnx(x＞0)
∴F′(x)=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

①當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間（0，2）上F′(x)=

a-x

x2

＜0恒成立，即函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，故函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上無極值； 
②當(dāng)a＞0時(shí)，令F′(x)=

a-x

x2

=0得：x=a，
當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)^′（x）和F（x）的變化情況如下表

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	單調(diào)遞增↗	極大值	單調(diào)遞減↘

∴函數(shù)F（x）在x=a處有極大值，
∴要使函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上無極值，只需a≥2，
綜上①②所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．