Question

直線y=kx+1與曲線y=x³+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），則a-b=

-4

．

Answer 1

分析：由直線y=kx+1與曲線y=x³+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程求k，求出函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，也就是k值，替換后可求a，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程求b，問題得到解決．

解答：解：由y=x³+ax+b，得y^′=（x³+ax+b）^′=3x²+a，
所以曲線y=x³+ax+b在點(diǎn)A（1，3）處的切線的斜率k=3×1²+a=3+a，
又點(diǎn)A（1，3）在直線y=kx+1上，所以3=k×1+1，所以，k=2，即3+a=2，a=-1．
又點(diǎn)A（1，3）在曲線y=x³+ax+b上，所以3=1³+1×（-1）+b，所以b=3．
所以a-b=-1-3=-4．
故答案為-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查了方程思想，解答此題的關(guān)鍵是，明確曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，此題是中低檔題．