Question

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=

1

2

且Sn-1Sn-2Sn+1=0．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知關(guān)系式，通過(guò)n=1，2，3，4，求出a₂，a₃，a₄；
（2）利用（1）猜想數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟證明即可，

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=

1

2

，
當(dāng)n=2時(shí)，S₁S₂-2S₂+1=0，即a₁（a₁+a₂）-（a₁+a₂）+1=0，解得a₂=

1

6

．
當(dāng)n=3時(shí)，S₃S₂-2S₃+1=0，即（a₁+a₂+a₃）（a₁+a₂）-（a₁+a₂+a₁）+1=0，解得a₃=

1

12

．
同理a₄=

1

20

．
（2）由（1）可得S1=

1

2

，S2=

2

3

，S3=

3

4

，S4=

4

5

，
猜想Sn=

n

n+1

，n=1，2，3，…
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①n=1時(shí)，已經(jīng)成立；
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立即Sk=

k

k+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，S_kS_k+1-2S_k+1+1=0，得Sk+1=

1

2-Sk

=

k+1

k+2

．所以n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
綜上由①②可知，猜想Sn=

n

n+1

，n=1，2，3，…成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．